曼昆微观经济学 · 1–11 章速通课第 8 / 11 课

第 8 课 · 曼昆微观分册第 8 章 · 第3篇 市场和福利

应用：税收的代价

⏱ 约 12 分钟　·　计算题收尾：税收收入与无谓损失；名词解释：无谓损失

能解释无谓损失是什么、怎么算（½·t·ΔQ），并说出它随税率平方增长、随弹性增大。

🧮 本课含计算部分：计算方法（步骤 + 常见陷阱）、4 道逐步演算的例题、4 道填数字的计算练习（其中 2 道可“再来一题”随机刷新）。

核心知识

税收减少买者的消费者剩余和卖者的生产者剩余，同时给政府带来税收收入。[曼昆§8.1.1]如果把三者相加：

税的福利账 $$ \Delta CS + \Delta PS + \text{税收收入} = -DWL $$

买者和卖者损失的总和大于政府的收入，差额就是无谓损失——市场少做了本来互利的交易（Q 从 Q* 降到 Q），这些交易的损失谁也没有得到。[OpenStax §3.5][曼昆§8.1.2]

怎么算

无谓损失是一个三角形：底边是税额 \(t\)，高是减少的成交量 \(Q^*-Q\)。

无谓损失 $$ DWL=\tfrac12\,t\,(Q^*-Q_t) $$

线性供求（\(Q_d=a-bP,\ Q_s=c+dP\)）下可再往前推一步：\(Q^*-Q_t = t\cdot\dfrac{bd}{b+d}\)，于是

$$ DWL=\tfrac12\,t^2\,\frac{bd}{b+d},\qquad T=t\,(Q^*-t\,\tfrac{bd}{b+d}) $$

玫瑰（b=4, d=2）：\(\dfrac{bd}{b+d}=\dfrac43\)，所以 \(DWL=\tfrac23t^2\)，\(T=t(80-\tfrac43t)\)。\(t=6\) 时：\(DWL=24\)，\(T=432\)。

税额 t36123060
成交量 Q767264400
无谓损失 DWL624966002400
税收收入 T22843276812000

互动：拖动税额，同时改变弹性

注意：b 和 d 是斜率参数，b 越大需求越“平”（对价格更敏感，更有弹性）。把 b 从 4 调到 8，同样的 t=6 会使 DWL 更大。

你的玫瑰计算题的最后一步：无谓损失 = ½ × 6 × (80 − 72) = 24；也可以用“税前总剩余 2400 − 税后（CS+PS+税收）2376”验算。两种方法答案一致就不会错。

计算方法

A. 税收、剩余与无谓损失（向卖者或买者征每单位 t）

  1. 税前：\(P^*,Q^*,CS_0,PS_0,TS_0=CS_0+PS_0\)。
  2. 税后：\(P_B=\dfrac{a-c+dt}{b+d}\)，\(P_S=P_B-t\)，\(Q_t=a-bP_B\)；\(CS=\tfrac12Q_t(P_{\max}-P_B)\)，\(PS=\tfrac12Q_t(P_S-P_{\min})\)，税收 \(T=tQ_t\)。
  3. 无谓损失（两种算法互相验算）： $$ DWL=TS_0-(CS+PS+T)=\tfrac12\,t\,(Q^*-Q_t)=\tfrac12\,t^2\,\frac{bd}{b+d} $$
  4. 税额变化时：\(DWL\propto t^2\)，t 加倍则 DWL 变为 4 倍；税收收入 \(T=t\,Q_t\) 则先升后降。

B. 税收收入与拉弗曲线

记 k = bd/(b+d)（每多 1 元税，成交量减少 k） $$ Q_t=Q^*-kt,\quad T(t)=t\,Q_t=Q^*t-kt^2,\quad t^*=\frac{Q^*}{2k},\quad T_{\max}=\frac{(Q^*)^2}{4k},\quad t_{\max}=\frac{Q^*}{k}\ (\text{成交量降为 }0) $$

税收收入是 t 的抛物线，在 \(t^*\)（\(t_{\max}\) 的一半）处最大；超过它税收反而下降。但 DWL 一直随 t² 上升，所以收入最大的税率并不是社会最优的税率。[曼昆第8章]

  • DWL 的底和高。底是成交量减少量 \(Q^*-Q_t\)，高是税额 t（不是 \(P_B-P^*\)）。三角形的面积 = ½ × 底 × 高。
  • 税收是矩形，DWL 是三角形。税收 \(=t\times Q_t\)，用税后成交量。
  • 算税后 TS 要加上税收。税后总剩余 = CS + PS + 税收收入（税收是政府的，社会没有损失）。
  • DWL 与弹性。供给或需求越有弹性，税后成交量减少越多，DWL 越大（见上面的对比）。
  • 每单位税 vs 税率。本课的 t 是“每单位多少元”，不是百分比税率；用百分比税率的题要先换算。

例题（逐步演算）

例 1　税收、剩余与无谓损失，并验证加倍定理

市场需求 \(Q_d=180-3P\)，供给 \(Q_s=3P\)（P 为价格，Q 为数量）。政府对卖者每单位征税 6 元。求税前总剩余、税后的 CS+PS+税收收入、无谓损失，以及税额加倍时的无谓损失。

b=d 的对称市场，P_B 与 P_S 对称地偏离均衡价。注意最后一步税额加倍。

  1. 税前。\(P^*=30,\ Q^*=90\)，\(P_{\max}=60,\ P_{\min}=0\)；\(CS_0=\dfrac12\times90\times30=1350\)，\(PS_0=\dfrac12\times90\times30=1350\)，合计 \(TS_0=2700\)。
  2. 税后价格与数量。\(P_B=\dfrac{a-c+dt}{b+d}=\dfrac{180+3\times6}{6}=33\)，\(P_S=P_B-t=27\)，\(Q_t=a-bP_B=81\)。
  3. 税后剩余与税收。\(CS=\dfrac12\times81\times(60-33)=1093.5\)；\(PS=\dfrac12\times81\times(27-0)=1093.5\)；\(T=6\times81=486\)。合计 \(CS+PS+T=2673\)。
  4. 无谓损失（两种算法）。① 少掉的总剩余：\(2700-2673=27\)；② 三角形面积：\(DWL=\dfrac12\,t\,(Q^*-Q_t)=\dfrac12\times6\times9=27\)。两者一致。
  5. 税额加倍。公式 \(DWL=\dfrac12\,t^2\,\dfrac{bd}{b+d}\) 与 \(t^2\) 成正比：t 加倍，DWL 变为 4 倍：\(4\times27=108\)（直接代入 t = 12 验算：\(\dfrac12\times12\times18=108\)）。
答案　税前总剩余 CS+PS：2700；税后 CS + PS + 税收收入：2673；无谓损失 DWL：27；税额加倍到 12 元时的无谓损失：108

例 2　另一组数字：供给曲线不过原点

市场需求 \(Q_d=160-2P\)，供给 \(Q_s=3P-30\)（P 为价格，Q 为数量）。政府对卖者每单位征税 5 元。求税前总剩余、税后的 CS+PS+税收收入、无谓损失，以及税额加倍时的无谓损失。

c=−30：Pmin=10，PS 要用 P_S−10。用“少掉的总剩余”和“三角形面积”两种方法对一下。

  1. 税前。\(P^*=38,\ Q^*=84\)，\(P_{\max}=80,\ P_{\min}=10\)；\(CS_0=\dfrac12\times84\times42=1764\)，\(PS_0=\dfrac12\times84\times28=1176\)，合计 \(TS_0=2940\)。
  2. 税后价格与数量。\(P_B=\dfrac{a-c+dt}{b+d}=\dfrac{190+3\times5}{5}=41\)，\(P_S=P_B-t=36\)，\(Q_t=a-bP_B=78\)。
  3. 税后剩余与税收。\(CS=\dfrac12\times78\times(80-41)=1521\)；\(PS=\dfrac12\times78\times(36-10)=1014\)；\(T=5\times78=390\)。合计 \(CS+PS+T=2925\)。
  4. 无谓损失（两种算法）。① 少掉的总剩余：\(2940-2925=15\)；② 三角形面积：\(DWL=\dfrac12\,t\,(Q^*-Q_t)=\dfrac12\times5\times6=15\)。两者一致。
  5. 税额加倍。公式 \(DWL=\dfrac12\,t^2\,\dfrac{bd}{b+d}\) 与 \(t^2\) 成正比：t 加倍，DWL 变为 4 倍：\(4\times15=60\)（直接代入 t = 10 验算：\(\dfrac12\times10\times12=60\)）。
答案　税前总剩余 CS+PS：2940；税后 CS + PS + 税收收入：2925；无谓损失 DWL：15；税额加倍到 10 元时的无谓损失：60

例 3　拉弗曲线：税收最大化的税额

市场需求 \(Q_d=240-4P\)，供给 \(Q_s=2P\)（P 为价格，Q 为数量）。政府对卖者每单位征税 t 元。求：（1）t = 15 时的税收收入；（2）使税收收入最大的 t* 与最大税收收入；（3）税额为 t* 时的无谓损失。

把 t 变大，税基（成交量）缩小：税收是一条开口向下的抛物线。

  1. 税前均衡。令 \(Q_d=Q_s\)：\(240-4P=2P\)，\((b+d)P=a-c\) 即 \(6P=240\)，所以 \(P^*=\dfrac{240}{6}=40\)，\(Q^*=240-4\times40=80\)。
  2. 成交量随税额下降。\(Q_t=Q^*-\dfrac{bd}{b+d}\,t=80-\dfrac{8}{6}t\)，记 \(k=\dfrac{bd}{b+d}=1.3333\)（每加 1 元税，成交量减少 k）。
  3. 税收收入函数。\(T(t)=t\,Q_t=80\,t-1.3333\,t^2\)（开口向下的抛物线）。t = 15 时 \(Q_t=60,\ T=15\times60=900\)
  4. 求最大。\(t^*=\dfrac{Q^*}{2k}=\dfrac{80}{2.6667}=30\)，\(T_{\max}=\dfrac{(Q^*)^2}{4k}=1200\)。（税额超过 \(t_{\max}=Q^*/k=60\) 时成交量降为 0，税收为 0：拉弗曲线的“另一侧”。）
  5. 此时的 DWL。\(DWL=\dfrac12\,k\,t^{*2}=\dfrac12\times1.3333\times30^2=600\)。注意：税收收入最大的税率并不是社会最优——DWL 仍随 t 平方上升。
答案　每单位税 t = 15 元时的税收收入：900；使税收收入最大的税额 \(t^*\)：30 元；最大税收收入：1200；税额为 \(t^*\) 时的无谓损失：600

例 4　相同的税，不同的弹性：DWL 差多少

四个线性市场，需求 \(Q_d=a-bP\)、供给 \(Q_s=c+dP\)，斜率参数 (b, d) 分别是 (2, 1)、(4, 2)、(6, 3)、(8, 8)。对每单位 6 元的税，比较无谓损失。

不需要知道 a、c：DWL 只取决于 t、b、d。

  1. 公式。\(DWL=\tfrac12t^2\dfrac{bd}{b+d}\)，t 相同时 DWL 只取决于 \(\dfrac{bd}{b+d}\)。
  2. \(b=2,\ d=1\)：\(\dfrac{bd}{b+d}=\dfrac{2}{3}\)，\(DWL=\dfrac12\times36\times\dfrac{2}{3}=12\)。
  3. \(b=4,\ d=2\)：\(\dfrac{bd}{b+d}=\dfrac{8}{6}\)，\(DWL=\dfrac12\times36\times\dfrac{8}{6}=24\)。
  4. \(b=6,\ d=3\)：\(\dfrac{bd}{b+d}=\dfrac{18}{9}\)，\(DWL=\dfrac12\times36\times\dfrac{18}{9}=36\)。
  5. \(b=8,\ d=8\)：\(\dfrac{bd}{b+d}=\dfrac{64}{16}\)，\(DWL=\dfrac12\times36\times\dfrac{64}{16}=72\)。
  6. 规律。b、d 越大（价格变动 1 元，需求量/供给量变动越多，也就是越有弹性），同样 6 元的税造成的 DWL 越大。
答案　DWL = 12、24、36、72：越有弹性的市场，同样的税造成的无谓损失越大。

计算练习：填数字，即时检查

下面每题都是填数字：填完点“检查答案”（在输入框里按回车也行）。整数、半整数的答案要精确；带“保留两位小数”的弹性题允许 ±0.01 的舍入误差。负数用“−”或“-”均可，也可以填 7/3 这样的分数。答错的项会标红，展开“显示解答（步骤）”对照。标有“再来一题”的是随机出题：每点一次换一组数字，同一种题型可以反复练到手熟。

检索练习

首选：曼昆第 8 章（§8.1 税收的无谓损失、§8.2 决定无谓损失的因素、§8.3 税收变动时的无谓损失和税收收入）。
免费替代：[OpenStax §3.5]（无谓损失的定义与价格管制的例子）与[OpenStax §5.3]（税收收入随弹性变化）。
视频：[MIT 14.01 Lec 23]（Government Redistribution and Taxation）。

卡住了？这门课是和你的课程助手一起学的：任何没看懂的地方、想换个讲法、想多做几道题，随时直接问助手（在原来的对话里提问即可），助手会按你的《管理经济学》考试要求来讲。