曼昆微观经济学 · 1–11 章速通课第 5 / 11 课

第 5 课 · 曼昆微观分册第 5 章 · 第2篇 市场如何运行

弹性及其应用

⏱ 约 12 分钟　·　名词解释考点：需求价格弹性、需求收入弹性、供给价格弹性、交叉价格弹性（含公式）

能写出四种弹性的公式、用中点法算出数值并判断类型，并说出弹性如何决定总收益的变化方向。

🧮 本课含计算部分：计算方法（步骤 + 常见陷阱）、4 道逐步演算的例题、5 道填数字的计算练习（其中 3 道可“再来一题”随机刷新）。

核心知识：一个公式家族

弹性衡量买者或卖者对条件变化的反应程度，统一形式是“被解释量变动的百分比 ÷ 原因变量变动的百分比”。[曼昆第5章]

弹性公式符号含义
需求价格弹性\(E_d=\dfrac{\%\Delta Q_d}{\%\Delta P}\)通常为负，常取绝对值[OpenStax §5.1]
需求收入弹性\(E_I=\dfrac{\%\Delta Q_d}{\%\Delta I}\)正：正常物品（>1 奢侈品、0–1 必需品）；负：低档物品
需求交叉价格弹性\(E_{xy}=\dfrac{\%\Delta Q_x}{\%\Delta P_y}\)正：替代品；负：互补品
供给价格弹性\(E_s=\dfrac{\%\Delta Q_s}{\%\Delta P}\)通常为正

中点法（必会）

直接用“变化 ÷ 起点”会使 A→B 和 B→A 算出不同的结果。中点法用两点的平均数作基数，结果与方向无关。[OpenStax §5.1][曼昆§5.1.3]

中点法 $$ E_d=\frac{(Q_2-Q_1)\big/\big[(Q_1+Q_2)/2\big]}{(P_2-P_1)\big/\big[(P_1+P_2)/2\big]} $$

玫瑰例题（真题）：价格从 40 涨到 44，需求量从 80 降到 64。

\( E_d=\dfrac{-16/72}{4/42}=-\dfrac{7}{3}\approx -2.33,\ |E_d|\approx 2.33>1\)：富有弹性。

类型与图形

弹性与总收益

总收益 \(TR=P\times Q\)。涨价时：

需求涨价 1%，Q 下降总收益
富有弹性（|E|>1）多于 1%减少
单位弹性恰好 1%不变
缺乏弹性（|E|<1）少于 1%增加

[OpenStax §5.3]用乐队票价、咖啡和农业的例子说明了同一规则。

弹性的决定因素

需求越缺乏弹性：必需品（相对奢侈品）、替代品少、市场定义得宽（“食品”比“冰淇淋”缺乏弹性）、时间短。[曼昆§5.1.1]时间范围的例子：[OpenStax §5.3]的 1973 年石油冲击说明短期需求缺乏弹性，几年后需求变得更有弹性，价格上涨就没有那么厉害。

一个反直觉的应用

粮食的需求缺乏弹性，所以丰收使供给增加、价格大跌，农民的总收益反而可能下降。[OpenStax §5.3][曼昆§5.3.1]这与“总收益规则”完全一致。

互动：沿着一条线性需求曲线，弹性处处不同

验证：40→44 时 Ed = −7/3，总收益 3200 → 2816（富有弹性，涨价使收益下降）；10→14 时 |E| = 0.25，总收益从 2000 增加到 2576（缺乏弹性，涨价使收益增加）。在线性需求的中点 P = a/(2b) = 30 处，|E| = 1。

名词解释常要求“写出公式”。建议统一写成：需求价格弹性 = 需求量变动百分比 ÷ 价格变动百分比，并加一句“大于 1 富有弹性，小于 1 缺乏弹性”。同类公式（收入、交叉、供给）只换分母或分子的变量，见公式速查。

计算方法

A. 中点法需求价格弹性（必会）

  1. 算两个平均数。\(\bar P=\dfrac{P_1+P_2}{2}\)，\(\bar Q=\dfrac{Q_1+Q_2}{2}\)。
  2. 分别算百分比变动。\(\%\Delta Q=\dfrac{Q_2-Q_1}{\bar Q}\)，\(\%\Delta P=\dfrac{P_2-P_1}{\bar P}\)。
  3. 相除。\(E_d=\dfrac{\%\Delta Q}{\%\Delta P}\)，取绝对值判断：\(>1\) 富有弹性，\(<1\) 缺乏弹性，\(=1\) 单位弹性。
  4. 用总收益验证。算 \(TR_1=P_1Q_1\) 与 \(TR_2=P_2Q_2\)：涨价时富有弹性 TR 降，缺乏弹性 TR 升；降价时相反。

B. 线性需求上的点弹性、单位弹性价格

需求 Q = a − bP $$\begin{aligned}|E_d|&=\frac{bP}{Q}=\frac{bP}{a-bP},\qquad |E_d|=1\iff P=\frac{a}{2b}\\[4pt] TR_{\max}&=\frac{a}{2b}\cdot\frac a2=\frac{a^2}{4b}\end{aligned}$$

斜率 \(b\) 固定，但弹性处处不同：价格高于 \(a/2b\)（曲线上半段）富有弹性，低于它缺乏弹性。[OpenStax §5.1]

C. 收入、交叉价格、供给弹性

公式相同，只换变量：\(E_I=\dfrac{\%\Delta Q_d}{\%\Delta I}\)、\(E_{xy}=\dfrac{\%\Delta Q_x}{\%\Delta P_y}\)、\(E_s=\dfrac{\%\Delta Q_s}{\%\Delta P}\)，各自用自己的两个平均数作基数。这三个的符号都有含义：\(E_I<0\) 低档物品、\(0<E_I<1\) 必需品、\(E_I>1\) 奢侈品；\(E_{xy}>0\) 替代品、\(<0\) 互补品。

  • 不用中点法会得到不同答案。同样是 P：40→44、Q：80→64，用起点做基数：\(\%\Delta Q=-20\%\)，\(\%\Delta P=10\%\)，\(|E|=2.00\)；反过来 44→40、64→80：\(+25\%\)，\(-9.09\%\)，\(|E|=2.75\)。中点法两个方向都是 \(2.33\)。题目要求“中点法”时一定要用平均数。
  • 符号。需求价格弹性算出来是负数，判断类型时取绝对值；收入弹性、交叉弹性不能取绝对值。
  • 弹性 ≠ 斜率。线性需求斜率不变，但点弹性随 P/Q 变化。
  • 总收益规则别记反。富有弹性：涨价 → TR 下降；缺乏弹性：涨价 → TR 上升。
  • 四舍五入。中间步骤保留 4 位小数，最后一步再保留 2 位。

例题（逐步演算）

例 1　中点法 + 总收益（富有弹性）

某物品价格从 20 元上涨到 25 元，需求量从 200 变为 150。用中点法求需求价格弹性（取绝对值）、判断类型，并比较价格变动前后的总收益。

按中点法，价格上涨约 22%，需求量下降约 29%——数量的反应比价格的反应更大，应当是富有弹性。

  1. 先算两个平均数。\(\bar P=\dfrac{20+25}2=22.5\)，\(\bar Q=\dfrac{200+150}2=175\)。
  2. %ΔQ（以 Q̄ 为基数）。\(\dfrac{150-200}{175}=-0.2857\)。
  3. %ΔP（以 P̄ 为基数）。\(\dfrac{25-20}{22.5}=0.2222\)。
  4. 弹性。\(E_d=\dfrac{-0.2857}{0.2222}=-1.29\)，取绝对值 \(|E_d|\approx1.29\)：富有弹性（|E|>1）。（符号：价格与需求量反方向变动，所以带负号；判断类型看绝对值。）
  5. 总收益。\(TR_1=20\times200=4000\)，\(TR_2=25\times150=3750\)，减少 250。
  6. 一致性检查。涨价时，富有弹性 → TR 应减少；结果吻合 ✔。
答案　需求价格弹性的绝对值 \(|E_d|\)（中点法，保留两位小数）：1.29；变动前的总收益 \(TR_1=P_1Q_1\)：4000；变动后的总收益 \(TR_2=P_2Q_2\)：3750

例 2　中点法 + 总收益（缺乏弹性，降价）

某物品价格从 30 元下降到 24 元，需求量从 120 变为 140。用中点法求需求价格弹性（取绝对值）、判断类型，并比较价格变动前后的总收益。

降价时缺乏弹性的商品需求量增加得不多，TR 会下降。

  1. 先算两个平均数。\(\bar P=\dfrac{30+24}2=27\)，\(\bar Q=\dfrac{120+140}2=130\)。
  2. %ΔQ（以 Q̄ 为基数）。\(\dfrac{140-120}{130}=0.1538\)。
  3. %ΔP（以 P̄ 为基数）。\(\dfrac{24-30}{27}=-0.2222\)。
  4. 弹性。\(E_d=\dfrac{0.1538}{-0.2222}=-0.69\)，取绝对值 \(|E_d|\approx0.69\)：缺乏弹性（|E|<1）。（符号：价格与需求量反方向变动，所以带负号；判断类型看绝对值。）
  5. 总收益。\(TR_1=30\times120=3600\)，\(TR_2=24\times140=3360\)，减少 240。
  6. 一致性检查。降价时，缺乏弹性 → TR 应减少；结果吻合 ✔。
答案　需求价格弹性的绝对值 \(|E_d|\)（中点法，保留两位小数）：0.69；变动前的总收益 \(TR_1=P_1Q_1\)：3600；变动后的总收益 \(TR_2=P_2Q_2\)：3360

例 3　线性需求：点弹性、单位弹性价格、最大总收益

某物品的需求函数为 \(Q_d=120-2P\)。求：（1）价格 20 元处的需求价格弹性（点弹性，取绝对值）；（2）弹性恰好等于 1 的价格；（3）总收益的最大值。

先算 P=20 处的点弹性，再找弹性为 1 的价格（线性需求的中点）。

  1. 点弹性公式。线性需求 \(Q=a-bP\) 上，\(|E_d|=b\dfrac PQ\)（斜率不变，但 P/Q 沿曲线变化，所以弹性处处不同）。
  2. P = 20 处。\(Q=120-2\times20=80\)，\(|E_d|=2\times\dfrac{20}{80}=0.5\)：缺乏弹性。
  3. 单位弹性价格。令 \(bP=Q=a-bP\)，得 \(P=\dfrac a{2b}=\dfrac{120}{4}=30\)（线性需求曲线的中点）。
  4. 总收益最大。在 P = 30 处 \(Q=a/2=60\)，\(TR_{\max}=30\times60=1800\)（等价于 \(\dfrac{a^2}{4b}\)）。
  5. 检查。P = 20 低于 30，位于曲线的下半段，缺乏弹性；此时涨价能增加总收益。
答案　P = 20 处的点弹性 \(|E_d|\)（保留两位小数）：0.5；需求价格弹性恰为 1 的价格：30 元；总收益的最大值：1800

例 4　收入弹性、交叉价格弹性、供给弹性

用中点法计算：（1）消费者月收入从 4000 元增至 5000 元，某物品 A 的月需求量从 100 变为 140；（2）物品 Y 的价格从 10 元涨到 12 元，物品 X 的需求量从 200 变为 180；（3）某物品价格从 20 元涨到 25 元，供给量从 100 增至 130。求收入弹性、交叉价格弹性、供给价格弹性，并判断类型。

三个弹性各用各的平均数；看符号判断物品类型。

  1. 公式家族。三种弹性都是“被解释量的百分比变动 ÷ 原因变量的百分比变动”，各自用自己的平均数作基数（中点法）。注意符号要保留：收入弹性、交叉弹性的符号本身就含有信息。
  2. （1）收入弹性。\(\dfrac{140-100}{120}=0.3333\)；\(\dfrac{5000-4000}{4500}=0.2222\)；\(E_I=\dfrac{0.3333}{0.2222}=1.5\)，大于 1：奢侈品。
  3. （2）交叉价格弹性。\(\dfrac{180-200}{190}=-0.1053\)；\(\dfrac{12-10}{11}=0.1818\)；\(E_{xy}=\dfrac{-0.1053}{0.1818}=-0.58\)，负值：互补品。
  4. （3）供给价格弹性。\(\dfrac{130-100}{115}=0.2609\)；\(\dfrac{25-20}{22.5}=0.2222\)；\(E_s=\dfrac{0.2609}{0.2222}=1.17\)，大于 1：供给富有弹性（供给弹性通常为正，因为价格与供给量同向变动）。
答案　需求收入弹性 \(E_I\)（保留两位小数，带符号）：1.5；交叉价格弹性 \(E_{xy}\)（保留两位小数，带符号）：−0.58；供给价格弹性 \(E_s\)（保留两位小数）：1.17

计算练习：填数字，即时检查

下面每题都是填数字：填完点“检查答案”（在输入框里按回车也行）。整数、半整数的答案要精确；带“保留两位小数”的弹性题允许 ±0.01 的舍入误差。负数用“−”或“-”均可，也可以填 7/3 这样的分数。答错的项会标红，展开“显示解答（步骤）”对照。标有“再来一题”的是随机出题：每点一次换一组数字，同一种题型可以反复练到手熟。

检索练习

首选：[OpenStax §5.1]——定义、中点法、弹性分类与图形，全部带算例。随后读[OpenStax §5.3]看总收益与税收归宿。
对照教材：曼昆第 5 章（§5.1 需求弹性、§5.2 供给弹性、§5.3 三个应用）。
视频补充：[Khan]的 Elasticity 单元（站点对自动检查返回验证页，请用浏览器打开）。

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